Tentang Bilangan Asli
Tentang Bilangan Asli
(Matematika merupakan
suatu konsep kehidupan sehingga matematika tidaks bisa lepas dalam
menjalani kehidupan ini)
Bilangan Real selalu
ada disetiap materi-materi mata pelajaran matematika pada jenjang pendidikan
SD, SMP dan SMA. Namun, kata bilangan real sangat jarang di gunakan pada
penyampaian materi-materi tersebut. Padahal bilangan real termasuk dasar dari
materi-materi pelajaran matematika. Bilangan real jarang
diperdengarkan mungkin karena bahasanya yang terlalu tinggi dan sulit
dimengerti. Barulah dijenjang perkuliahan prodi pendidikan matematika
mempelajari tentang bilangan real ini dalam mata kuliah analisis real.
Bilangan Real adalah
bilangan yang mencakup semua bilangan yang ada. Dalam bagan bilangan bilangan
real menaungi beberapa jenis bilangan yang sering kita jumpai dalam mata
pelajaran matematika. Bilangan-bilangan tersebut yakni bilangan rasional, irasional,
bilangan bulat dan bilangan asli.
Dalam kehidupan
sehari-hari manusia selalu dipertemukan pada bilangan real, terutama bilangan
bulat positif dan negatif. Dalam bilangan ini, menyimpan suatu konsep kehidupan
yang tidak disadari oleh manusia. Konsep-konsep seperti inilah yang akan
diungkapkan dalam tulisan ini.
Bilangan bulat
terdiri atas bilangan bulat positif dan negatif. Jika bilangan bulat positif
dmisalkan dengan simbol + dan bilangan bulat negatif dengan – , kemudian
didefenisikan tehadap perkalian x maka :
Jika operasi diatas
dibahas dalam kehidupan sehari-hari, maka memiliki maksud yang artinya :
+ x - = - artinya jika sesuatu yang benar dinyatakan
salah maka itu salah,
- x + = - artinya jika sesuatu yang salah dinyatakan
benar maka itu salah,
- x - = + artinya jika sesuatu yang salah dinyatakan
salah maka itu benar dan
+x + =+ artinya jika sesuatu yang benar dinyatakan
benar maka itu benar.
Pernyataan-pernyataan
diatas merupakan logika sederhana tentang pengoperasian positif dan negatif.
Operasi matematika tidak serta merta ada karena konsep dari bilangan itu
sendiri, akan tetapi juga memiliki makna tersendiri didalamnya. Makna tersebut
dapat direlasikan dengan kehidupan manusia.
Sebagai contoh – x –
= + artinya jika sesuatu yang salah dinyatakan salah maka itu benar. Pernyataan
apapun didunia ini jika sesuatu yang salah disalahkan maka sesuatu itu berarti
benar. Misalkan menulis dengan tangan kiri itu salah tetapi pada dasarnya pernyataan
ini salah karena beberapa manusia yang sejak kecil hingga dewasa hanya dapat
menulis dengan baik menggunakan tangan kiri saja, maka berarti menulis dengan
tangan kiri adalah benar.
Menurut KBBI, real
berarti nyata, dengan demikian bilangan real dapat diartikan sebagai bilangan
yang nyata. Bilangan atau sebut saja angka adalah sesuatu yang abstrak dan
tidak dapat digambarkan bentuknya secara kontekstual. Misalnya angka 2, angka
dua tidak memiliki bentuk, angka 2 hanya ada dalam pikiran kita (deduktif).
Jika pikiran mengasumsikan bahwa 2 dapat digambar pada papan tulis atau kertas,
maka itu bukanlah 2. Akan tetapi hanya tinta spidol atau pulpen yang
dilukisakan pada objek tertentu. Jadi bagaimana mendeskripsikan angka 2?
Bilangan adalah
simbol atau istilah yang digunakan untuk menyatakan suatu jumlah tertentu.
Matematika (bilangan) dikenal akan keabstrakannya, akan tetapi bukan berarti
matematika atau bilangan tidak dapat dideskripsikan. Pada pendeskripsian ini,
bukan berarti bentuk bilangan ialah yang sering kita tulis di papan tulis atau
kertas. Bilangan dapat dideskripsikan apabila dihubungkan dengan kehidupan
sehari-hari. Misalnya 2 tangan, 4 roda mobil, 3 roda becak, 2 pintu jendela dan
lain-lain. Bilangan yang pada awalnya abstrak dapat menjadi nyata apabila
dihubungkan dengan kehidupan sehari-hari.
Matematika merupakan
suatu konsep kehidupan yang tentunya tidak bisa lepas dari kehidupan manusia.
Sama halnya dengan bilangan real, bilangan real juga merupakan suatu konsep
kehidupan manusia. Sebagai contoh yakni aksioma-aksioma dalam bilangan real
dapat dihubungkan dengan manusia dalam menjalani kehidupan ini. Baik itu
ditinjau dari aspek prinsip-prinsip hidup, nilai dan norma, dan lain-lain.
Aksioma-aksioma
bilangan real mengandung makna yang tersimpan didalamnya. Suatu misteri
(rahasia) matematika yang tertuang dalam bentuk bilangan, ternyata memiliki
hubungan dengan kehidupan manusia. Hubungan tersebut berupa suatu makna dan
dapat menjadi suatu prinsip untuk menjalani kehidupan ini. Untuk lebih jelasnya
berikut aksioma-aksioma bilangan real:
Pada sistem bilangan
real R kita dapat mendefinisikan dua buah operasi, yaitu penjumlahan (+) dan
perkalian (·). Untuk semua a, b, c R, kedua operasi ini memenuhi
semua sifat berikut:
- Sifat Komutatif a + b = b + a, a.b = b.a
- Sifat Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c), (a.b).c = a.(b.c)
- Sifat Distributif a.(b + c) = a.b + a.c dan (b + c).a = b.a + c.a
- Identitas Penjumlahan Terdapat 0 R sehingga 0 + a = a.
- Identitas Perkalian Terdapat elemen 1 R sehingga 1.a = a untuk semua a R
- Invers Penjumlahan Untuk setiap a R terdapat −a R sehingga a + (−a) = 0.
- Invers Perkalian Untuk setiap a 0 di R terdapat satu elemen 1/a R sehingga a x 1/a = 1
Aksioma diatas sangat
sering dijumpai pada mata pelajaran matematika SMP materi penjumlahan dan
perkalian. Jika membaca sepintas maka sebuah kebingungan dan pertanyaan besar
diotak kita akan bergemuruh tentang apa hubungan aksioma-aksioma tersebut
dengan kehidupan manusia. jawabannya sebagai berikut:
Sifat Komutatif a + b
= b + a, a.b = b.a, Jika dimisalkan
operasi positif (+) adalah perbuatan baik maka apabila a berbuat baik kepada b
maka tentu b akan berbuat baik juga terhadap a. Sifat ini sangatlah penting
dalam kehidupan manusia bahwa sebagai makhluk sosial kita harus
berbuat baik kepada setiap orang. Jika ingin disenangi orang lain, maka perlu
pula berbuat baik kepadanya dan orang tersebut tentu akan senang dan
melakukan hal yang sama pula.
Sifat ini dapat
menjadi motivasi diri bahwa manusia tidak bisa hidup tanpa manusia lainnya
(makhluk social). Janganlah berbuat buruk kepada orang lain karena dapat
merusak hubungan persaudaraan sesama manusia. Selain itu Perbuatan yang kita
lakukan dapat menentukan perbuatan orang lain terhadap kita. Apabila
kita berbuat baik maka kita akan mendapatkan perbuatan baik pula dan begitupun
sebaliknya.
Sifat Asosiatif (a +
b) + c = a + (b + c), (a.b).c = a.(b.c), Asosiatif
berarti pengelompokkan. Dalam kehidupan ini manusia diciptakan berbeda suku,
agama, keturunan, daerah dan lain-lain. Perbedaan tersebut pada dasarnya
membentuk suatu kelompok sesuai dengan jenisnya sendiri.
Negara ini memiliki
banyak suku-suku, ras dan agama. Perbedaan tersebut tidak menjadi tembok untuk
berhubungan dengan orang yang berbeda dengan kita. Dalam perbedaan tersebut
akan ada penengah atau pemimpin diantara kelompok-kelompok dan mampu menyatukan
perbedaan menjadi satu kesatuan.
Sifat asosiatif
menjadi konsep manusia untuk berhubungan dengan yang berbeda dengannya.
Maksudnya (a + b) + c = a + (b + c) adalah apabila a dapat berhubungan dengan b
maka tentulah b dapat berhubungan dengan c. Maknanya ialah kita dapat
berhubungan dengan siapapun, menjalin tali persaudaraan dengan siapapun karena
persaudaran dapat membentuk suatu kerjasama yang baik dalam bermasyarakat.
Simbol b pada sifat
ini dapat diartikan sebagai konsep pemimpin yang harus memperhatikan
orang-orang disamping kiri dan kanannya. Pemimpin diharuskan dapat berbaur dan
melebur dengan setiap kelompok-kelompok masyarakat yang dibawahinya. Apabila b
dapat menjalankan tugasnya dengan baik, tentu Negara ini akan damai, aman dan
sejahtera. Tidak ada lagi permusuhan-permusuhan antar kelompok suku, agama,
daerah, keturunan dan lain-lain.
Sifat Distributif
a.(b + c) = a.b + a.c dan (b + c).a = b.a + c.a, sama
halnya dengan sifat asosiatif, sifat distributif juga bermakna bahwa manusia
dapat berhubungan dengan manusia lainnya yang berbeda dengannya.
a.(b+c)=
a.b+a.c maksudnya ialah a dapat menjalin hubungan dengan b maupun c. ini
menandakan akan pentingnnya toleransi diantara manusia untuk dapat menerima
manusia yang lainnya. Manusia diciptakan berbeda dan menjadi tugas manusia
untuk menjadikan perbedaan tersebut menjadi kesatuan sesuai dengan sila ketiga
pancasila. Apabila konsep ini dapat ditanamkan dengan baik maka outputnya
merupakan kedamaian dan ketentraman dalam menjalani kehidupan ini.
Sifat disitributif
mengajarkan manusia akan pentingnya pluralisme, menghargai sesama manusia dan
menjalin hubungan yang baik dengan manusia yang lainnya. Sebagai makhluk sosia
,kita harus dapat berbaur dengan manusia atau orang-orang yang berbeda dengan
kita. Negara ini akan hancur apabila selalu terjadi pertikaian atau peperangan
didalamnya. Sehingga perlu dijalin hubungan persaudaraan sesama manusia untuk
menjaga dan melindungi Negara ini. Perbedaan dapat menjadi pondasi kebersamaan
untuk mengenal, memahami dan saling menjaga satu sama lain.
Identitas
Penjumlahan Terdapat 0 R sehingga 0 + a = a atau Identitas Perkalian
Terdapat elemen 1 R sehingga 1.a = a untuk semua
a R, identitas penjumlahan atau perkalian ialah apabila
suatu bilangan dijumlahkan atau dikalikan dengan bilangan tertentu akan
menghasilkan bilangan itu sendiri, misalnya 5 + 0 = 5 dan 10 x 1 = 10. Dari
contoh tersebut dapat di simpulkan bahwa Elemen Identitas adalah unsur netral.
Netral artinya tidak
berpihak atau tidak ikut membantu salah satu pihak (KBBI). Negara saat ini
sedang krisis kepercayaan, pernyataan ini terbukti dengan hilangnya kepercayaan
masyarakat terhadap pengadilan karena banyaknya hakim-hakim pengadilan yang
tidak menanamkan sifat netral dengan baik. Banyak kasus-kasus suap dalam
pengadilan atau menerima suatu materi agar berpihak kepada orang yang memberi
materi tersebut. Sifat buruk ini dapat merugikan bahkan menghancurkan
pihak-pihak yang didiskriminasi dalam suatu pengadilan.
Hakim atau pengadil
merupakan penengah dalam menyelesaikan suatu masalah. Sehingga mereka harus
benar-benar memahami dan menanamkan dalam dirinya tentang netral dengan baik.
Sikap netral ini sangatlah penting dalam memecahkan suatu masalah. Tidak hanya
dalam proses pengadilan tetapi dalam kehidupan bermasyarakatpun sikap ini perlu
ditanamkan dengan baik. Hingga tidak ada ketimpangan-ketimpangan dalam
memecahkan suatu masalah dan kehidupan bermasyarakat akan damai serta tentram.
Invers Penjumlahan
Untuk setiap a R terdapat −a R sehingga a + (−a) = 0 atau
Invers Perkalian Untuk setiap a 0 di R terdapat satu elemen
1/a R sehingga a x 1/a = 1 , invers adalah
lawan atau kebalikan dari suatu bilangan. Suatu bilangan dapat dikatakan
memiliki invers dalam penjumlahan atau perkalian apabila hasilnya merupakan
unsur identitas. Dalam penjumlahan elemen identitasnya 0 (nol),
sedangkan perkalian elemen identitasnya 1 (satu).
Dalam penjumlahan,
misalkan a elemen R lawan dari a adalah –a, sedangkan lawan dari –a adalah -a
sedemikian sehingga berlaku a + (-a) = 0 atau –a + a = 0. Sedangkan dalam
perkalian misalkan a elemen R lawan dari a adalah 1/a (seper a) sedemikian
sehingga berlaku a x 1/a = 1.
Tetapi contoh dibawah
ini akan menjelaskan invers dalam penggunaannya pada contoh-contoh soal yang
sering ditemui pada mata pelajaran matematika. Perhatikan contoh
dibawah ini:
-a, a R
-a + a = 0
-a + a + a = 0 +
a kedua ruas ditambahkan a
( -a + a ) +
a = -a sifat asosiatif
0 + a = a memiliki
elemen identitas
a = a atau -a = -a
-a = -a atau a = a
merupakan sebuah nilai yang berupa hasil dari penyelesaian –a + a =
0. Dalam kehidupan ini, setiap perbuatan manusia akan memiliki balasannya
diakhirat kelak. Pernyataan ini bermakna bahwa segala sesuatu yang dilakukan
manusia memiliki kebalikan dari perbuatannya. Apabila melakukan perbuatan baik
maka akan menhasilkan yang baik pula (pahala) dan apabila melakukan perbuatan
buruk akan menghasilkan perbutan buruk pula (dosa).
Misalkan tanda
= (samadengan) dimisalkan sebagai sebuah refleksi atau cermin dari kehidupan
manusia. Maka hasil dari apa yang manusia lakukan adalah cerminan
dari perbuatan perbuatan selama didunia. Dalam firman Allah surah Al-Hasr ayat
18 yang artinya :
“Hai orang-orang yang
beriman, bertakwalah kepada Allah dan hendaklah Setiap diri memperhatikan apa
yang telah diperbuatnya untuk hari esok (akhirat); dan bertakwalah kepada
Allah, Sesungguhnya Allah Maha mengetahui apa yang kamu kerjakan.”
Ayat diatas menjelaskan kepada manusia
bahwa hari esok (akhirat) menunggu kita. Sehingga Allah SWT memerintahkan untuk
senantiasa bertakwa kepadanya dan memperhatikan perbuatan-perbuatannya dimasa
sekarang. Perbuatan manusia menentukan kehidupan kita diakhirat kelak kerena
kehidupan manusia adalah cermin dari keputusan yang telah dibuatnya.
Banyak
bencana-bencana alam sepeti longsor, tsunami, gempa dan fenoma-fenoma lainnya
yang menimpa Negara kita saat ini. Ini dapat pula berupa sebagian contoh dari
keputusan yang telah diambil sebelumnya. Banyaknya pengerusakan alam oleh
manusia menyebabkan bencana-bencana alam melanda. Maka dari itu kita sebagai
manusia patut menjaga alam ini dan memanfaatkannya dengan sebaik-baiknya.
Sebagai
kesimpulan, matematika tidak sekedar suatu pelajaran yang dipelajari dalam
sekolah begitu saja. Matematika menyimpan rahasia-rahasia didalamnya sehingga
sangat penting bagi manusia mempelajari matematika. Tidak sampai disitu saja,
apabila matematika ini ditelaah dengan dalam ternyata menyimpan suatu pelajaran
dan dapat menjadi motivasi diri dalam menjani kehidupan yang fana ini.
Pada
hakikatnya matematika bukanlah momok yang menakutkan dan menyulitkan.
Pernyataan tersebut dapat dibuktikan karena matematika ada disetiap seluk beluk
kehidupan manusia. Segala sesuatu yang diciptakan Tuhan didunia ini tidak bisa
lepas dari matematika. Mungkin hal inilah yang melandasi matematika sehingga
sering disebut sebagai ibu atau ratu dari ilmu pengetahuan.
terimakasih 🎓
Komentar
Posting Komentar